Progressões Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG)


I – Introdução

As progressões aritméticas e geométricas foram estudadas desde os povos antigos intrigando e despertando a curiosidade humana.
Os egípcios estabeleceram padrões para determinar os períodos de enchente do Rio Nilo para poderem plantar no tempo certo e garantirem alimentos. Eles observaram que o rio subia sempre quando a estrela Sírius subia a leste, um pouco antes do Sol, e que isto ocorria a cada 365 dias. Partindo dessa observação os egípcios criaram um calendário solar composto de doze meses de 30 dias cada mês e mais cinco dias dedicado a festa aos deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e Nephthys. Os egípcios dividiram os doze meses em três períodos: um para plantar, outro para o crescimento e outro, ainda, para a colheita.
A matemática no Egito não desenvolveu tanto quanto na Babilônia. Talvez porque os egípcios se mantiveram mais isolados, enquanto que, a Babilônia era rota comercial de navios e, portanto, troca de saberes. No entanto, os egípcios contribuíram com a preservação de vários papiros que muito colaboraram com o desenvolvimento da matemática que conhecemos hoje.
Em 1858, um antiquário escocês chamado Henry Rhind comprou numa cidade do Egito um papiro muito antigo. Esse documento mede 30 centímetros de largura por 5 metros de comprimento e ficou conhecido como Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes, nome do escriba que o copiou por volta de 1650 a.C. Esse papiro contém diversos assuntos matemáticos: sistema de numeração, geometria, álgebra e muitas brincadeiras e jogos com números.
Nesse papiro encontram-se problemas envolvendo progressão aritmética e geométrica. Veja:
Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em Progressão Aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores”.
"Em 7 casas, há 49 gatos, que comeram 343 ratos ,que, se não morressem, comeriam 2401 espigas, cujos grãos encheriam 16807 cuias".
No papiro de Rhind aparece também uma progressão geométrica envolvendo frações bastante interessantes: 1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64 . Essas frações são conhecidas como as frações dos olhos do deus Hórus.
Os babilônicos também utilizavam sequências. Foram encontrados dois problemas sobre progressão geométrica numa tábua de Louvre, datando por volta de 300 a.C. Um deles é expresso pela sentença:
1+21+22+23+24+25+26+2728+29=29+29+1
Acredita-se que Pitágoras e os sábios gregos também conheciam as progressões aritméticas, as geométricas, as harmônicas e musicais. Conheciam, ainda, as proporções, os quadrados de uma soma ou de uma diferença. Como conseqüência de várias observações, concluíram que a relação entre a altura dos sons e a largura da corda da lira seria responsável pela harmonia musical e que os intervalos musicais formavam progressões aritméticas. Aos pitagóricos se devem a teoria sobre o relacionamento entre a música e a matemática.
Os Números figurados surgiram entre os membros mais antigos da escola pitagórica, aproximadamente 600 a.C.. Esses números expressam a quantidade de pontos em configurações geométricas: triangulares, quadrangulares, pentagonais, hexagonais etc.

Foram várias as contribuições de diversos matemáticos ao longo da história para o estudo das sequências, principalmente das progressões aritméticas e geométricas. Até na doutrina Darwiniana podemos encontrar as progressões aritméticas e geométricas. Uma referência encontrada no Darwinismo refere-se a uma influência das ideias de um famoso economista Thomas Malthus: “As populações crescem em PG ao mesmo tempo em que as reservas alimentares para elas crescem apenas em PA”. Em consequência, Darwin afirmou que “devido a tal desproporção, os indivíduos empenhar-se-iam numa luta pela vida, ao final da qual seriam selecionados os mais fortes ou os mais aptos – seleção natural – de alguns indivíduos em detrimento de muitos outros”.
Atualmente, sabe-se que, apesar da taxa de crescimento populacional ser maior que a taxa de produção de alimentos, não há uma desproporção tão grande quanto à comparação de Malthus, o que a tornou, inaceitável nos dias de hoje.

II – Progressão Aritmética

A progressão aritmética é um tipo de sequência numérica bastante presente no nosso cotidiano onde para obtermos cada termo, adiciona-se uma constante ao termo anterior. Essa constante dá-se o nome de razão da PA e a indicamos por r.
Vejamos alguns exemplos:
(5, 9, 13, 17, 21, ...) é uma PA de razão 4.
(10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4,...) é uma PA de razão -2.
(5,5,5,5,5,....) é uma PA de razão 0.
Compreendido o significado de uma progressão aritmética podemos concluir que, partindo do primeiro termo, para avançar um termo na sequência, devemos adicionar a razão r uma vez, isto é, a2= a1+r. Analogamente, para avançar dois termos, devemos adicionar 2r ao primeiro termo, obtendo o terceiro termo, isto é, a3=a1+2r.
Por esse processo, podemos escrever
a4=a1+3r
a5=a1+4r
a6=a1+5r
a7=a1+6r
a10=a1+9r
a15=a1+14r
a20=a1+19r e assim sucessivamente.
Esse raciocínio permite-nos construir a fórmula do termo geral da PA que é dada por: an=a1+(n-1)r.
Além disso, notemos que para “passar”, por exemplo, do quarto termo de uma PA para o décimo primeiro termo devemos adicionar 7r ao quarto termo, ou seja, a11=a4+7r. Da mesma forma, podemos escrever: a4=a11-7r, pois, para “passarmos” do décimo primeiro termo para o quarto termo devemos “retroceder” sete termos.
Podemos observar, ainda, o seguinte fato: cada termo de uma PA a partir do segundo é a média aritmética entre o seu antecessor e o seu sucessor, isto é, a2=(a1+a3)/2 . Genericamente, podemos escrever:
an=(a(n-1)+a(n+1))/2.
Exemplos:
1- Determine o 100º termo de uma PA sabendo que a10 =52 e a20=102.
Solução: a20=a10+10r ⇒102=52+10r ⇒10r=50⇒r=5
Daí a100=a10+90r⇒a100=52+90.5 ⇒a100=52+450⇒a100=502

2- Quantos múltiplos de 3 existem entre 100 e 1000?
Solução: Os múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 1000 formam a PA (102, 105, 108, ..., 999). Assim, podemos escrever: 999=102+(n-1).3⇒999=102+3n-3⇒999=99+3n⇒900=3n⇒n=300. Ou seja, existem 300 números que são múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 300.

3- Determine o valor de x e y na sequência (8, x, 4, y) sabendo que os seus termos formam uma PA.
Solução: Como a sequência é uma PA, então podemos dizer que x é a média aritmética entre 8 e 4. Podemos escrever: x=(8+4)/2=6. Logo, y=2, pois se trata de uma PA de r=-2.

III- Progressão Geométrica

A progressão geométrica, assim como a aritmética, também é um tipo de sequência numérica bastante comum no nosso dia a dia onde para obtermos cada termo, multiplicamos o termo anterior por uma constante. Essa constante dá-se o nome de razão da PG e a indicamos por q.
Vejamos alguns exemplos:
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) é uma PG de q=2.
(-3, -9, -27, -81, -243, ...) é uma PG de q=-3.
(8, -4, 2, -1, 1/2, -1/4, 1/16, ...) é uma PG de q=-1/2.
De forma análoga, as progressões geométricas têm o significado de que, conhecidos o primeiro termo e a razão q, é possível determinar qualquer termo da sequência a partir da multiplicação do primeiro termo pela razão um tanto de vezes. Assim, temos que:
a2=a1.q
a3=a1.q.q=a1.q2
a4=a1.q.q.q=a1.q3
a5=a1.q.q.q.q=a1.q4
a6=a1q.q.q.q.q=a1.q5
a10=a1.q9
a15=a1.q14
a20=a1.q19, e assim sucessivamente.
Esse raciocínio nos permite determinar a fórmula do termo geral da PG que é dada por: an=a1.q(n-1).
Notemos, ainda, que para “passar”, por exemplo, do décimo termo de uma PG para o décimo quinto termo devemos multiplicar o décimo termo pela razão cinco vezes. Então, podemos escrever que: a15=a10.q5.
Observemos, ainda, que cada termo de uma PG, a partir do segundo termo, é a média geométrica entre o termo que o antecede e o termo que o sucede, isto é, a2=√(a1.a3 ). Genericamente, temos que:
 an=√a(n-1).a(n+1) .
Exemplos:
1- Determine o vigésimo termo de uma PG sabendo que a3=125 e a5=3125.
Solução: a5=a3.q2⇒3125=125.q2⇒q2=25⇒q=√25⇒q=5
Daí a20=a5.q15⇒a20=125.515⇒a20=53.515⇒a20=518

2- Dada a PG (2, x, 18, y), determine os valores de x e y.
Solução: Como a sequência é uma PG, podemos escrever que x=√2.18⇒x=√36⇒x=6. Daí y/18=18/6⇒y/18=3⇒y=54

3- Quantos termos têm a PG (81, 27, 9, ....1/9).
Solução: Temos que a1=81, q=27/81=1/3 e an=1/9. Daí, podemos escrever que:
1/9=81.(1/3)(n-1)⇒(1/3)(n-1)=1/9.81⇒(1/3)(n-1)=1/(32.34)⇒
⇒(1/3)(n-1)=(1/3)6⇒n-1=6⇒n=7
Portanto, a PG tem 7 termos.

Referências Bibliográficas:

LIMA, Valéria S., Progressões Aritméticas e Geometricas: História, Conceitos e Aplicações. Disponível em:

DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicações. Vol. 1. São Paulo: Editora Ática, 2010.

SOUZA, Joamir. Novo Olhar Matemática. Vol. 1. São Paulo: Editora FTD, 2010.