Sequências

“O grande livro da natureza só pode ser lido por

aqueles que conhecem a linguagem em foi escrito.

 E essa linguagem é a matemática.”

Galileu Galilei

I - Introdução

Neste estudo, meu caro aluno, abordamos os conceitos relativos às sequências priorizando aspectos que consideramos fundamentais para a compreensão dos diferentes significados dos conceitos envolvidos. O primeiro aspecto a considerarmos refere-se ao reconhecimento da regularidade envolvida na construção de algumas sequências numéricas ou de sequências figuradas assim como a escrita das equações que representam essa regularidade.

A matemática é a ciência dos padrões. Desde a antiguidade, os matemáticos buscavam regularidades e padrões em sequências numéricas, figuradas ou geométricas.

O que o matemático faz é examinar “padrões” abstratos – padrões numéricos, padrões de forma, padrões de movimento, padrões de comportamento, etc. Esses padrões tanto podem ser reais como imaginários, visuais ou mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou quantitativos, puramente utilitários ou assumindo um interesse pouco mais recreativo. Podem surgir a partir do mundo à nossa volta, das profundezas do espaço e do tempo, ou das atividades mais ocultas da mente humana (DEVLIN, 2002, p. 9).

O nosso objetivo, neste estudo, é despertar em você, aluno, o interesse pela investigação da infinidade de padrões que o cerca. Para isso, você precisa interagir com este conteúdo e não ficar apenas na resolução de exercícios mecânicos e sem significado. Vamos iniciar o nosso estudo, através da observação de diferentes padrões e chegarmos às generalizações matemáticas necessárias com maior apropriação do conteúdo, isto é, utilizando representações por meio da linguagem algébrica com maior coerência.

Ao longo da nossa vida, estamos cercados de fenômenos da natureza que, se prestarmos atenção, seremos surpreendidos com a quantidade de padrões de regularidades. Você já observou, por exemplo, o formato das flores, a quantidade de pétalas ou os gomos da casca do abacaxi? Há uma disposição tão perfeita que é impossível ficarmos indiferentes.

O padrão de distribuição das folhas no caule das plantas é de forma a possibilitar o máximo de incidência de luz. O crescimento das plantas, as ondas do oceano, as espirais das galáxias, as carapaças dos caracóis, o número de descendentes numa família de coelhos são exemplos de fenômenos da natureza que apresentam números em sequências.

Na antiguidade, os gregos acreditavam que só existiam os números inteiros positivos e os racionais como resultado da divisão entre eles. Até o século V a.C. acreditavam que esses números eram suficientes para comparar quaisquer duas grandezas.

A primeira grande crise no desenvolvimento da matemática ocorreu quando os pitagóricos, sociedade secreta fundada pelo filósofo e matemático Pitágoras de Samos (580 a.C. – 500 a.C.), descobriram que havia segmentos de reta cuja medida não correspondia à razão entre dois números naturais, os chamados segmentos incomensuráveis. Esta descoberta pôs fim à escola pitagórica e a construção dos conjuntos numéricos permaneceu por muitos séculos como uma grande questão entre os matemáticos, sendo amplamente pesquisada e atingindo seu auge com a teoria dos conjuntos numéricos de Georg Cantor (1845 – 1918) no fim do século XIX e início do século XX. E esses “novos” números foram denominados de números irracionais.

Entre os infinitos números irracionais, podemos citar “número de ouro”, (1+√5)/2, dos gregos, símbolo da harmonia e da beleza e que na sua forma decimal corresponde ao número 1,61803398, como um dos mais famosos exemplos desse conjunto numérico. Há outros exemplos como as raízes quadradas, terceiras, quartas etc que não são exatas.

O “número de ouro” está presente em diversos fenômenos da natureza: crescimento das plantas, das presas do elefante, nas escamas dos peixes, corpo humano. É encontrado em diversas áreas do conhecimento: arte, arquitetura, música e literatura. Podemos citar alguns exemplos: a fachada do templo grego Paternon, na grande pirâmide de Gizé, na obra Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, a proporção entre fêmeas e machos em qualquer colméia das abelhas, o pentagrama, e o caramujo Nautilus marinho.

Caramujo Nautilus marinho A obra 1,618, de Antonio Peticov (1946-), artista plástico paulista, reproduz a formação do caramujo Nautilus marinho. A constituição da espiral do caramujo segue exatamente a sequência do retângulo áureo. Um retângulo é considerado retângulo áureo ou de ouro quando a razão entre seu comprimento e sua largura é “número de ouro”.

ATENÇÃO

II – Padrões e Regularidades

Na abordagem deste tópico, você deverá procurar regularidades ou padrões bem definidos quando confrontados com diversas sequências.

Sempre que estabelecemos uma ordem para os elementos de um conjunto de tal forma que cada elemento seja associado a uma posição, temos uma sequência. Sequência é, portanto, todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem.

Exemplos:

A relação de nomes de alunos de uma classe,

Os números das casas de uma rua,

A relação das notas musicais ( dó ré mi fá sol lá si ), etc.

Uma sequência é numérica quando seus elementos são formados por números.

Exemplos:

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....)

(0, 2, 4, 6, 8, 10, ...)

(1, 3, 5, 7, 9, 11, ...)

(2, 4, 6, 8, 16, 32, 64, ...)

(2, 6, 18, 54, 162, ...)

Genericamente, representamos uma sequência por: ( a₁, a₂, a₃,..., a_n, ...).

Identificando padrões em sequências numéricas ou figuradas

Para descobrir os próximos termos (números) de uma sequência numérica, o fundamental é o raciocínio em busca de padrões e regularidades.

Exemplo 1

Observem que:
a₁ = 5; a₂ = 9; a₃ = 13; a₄ = 17; a₅ = 21; etc. Como a sequência vai de 4 em 4, então podemos escrever:
a₁ = 5
a₂ = a₁ + 4 = 5 + 4 = 9
a₃ = a₂ + 4 = 9 + 4 = 13
a₄ = a₃ + 4 = 13 + 4 = 17
a₅ = a₄ + 4 = 17 + 4 = 21
Exemplo 2
Também podemos descobrir padrões em sequências figuradas. Observe a sequência de figuras a seguir:

Continuando com esse padrão, quantos quadradinhos haverá na figura 7? Nesta sequência de figuras, os quadradinhos foram organizados em linhas e colunas, você poderá desenhar as próximas figuras para determinar quantos quadradinhos há na figura 7.

Porém, há outras estratégias para descobrirmos a quantidade de quadradinhos da figura sem desenhar todas as figuras. Para isto, devemos analisar a sequência figurada e juntar a ela a sequência numérica, analisando a sua regra de formação.

Observe que:
Figura 1 ⇒ a₁ = 2.1 = 2
Figura 2 ⇒ a₂ = 3.2 = 6
Figura 3 ⇒ a₃ = 3.4 = 12
Figura 4 ⇒ a₄ = 4.5 = 20
Figura 5 ⇒ a₅ = 5.6 = 30
Figura 6 ⇒ a₆ = 6.7 = 42
Figura 7 ⇒ a₇ = 7.8 = 56
Assim, a sequência é (2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, ....).

III - Termo geral de uma sequência
O exercício do raciocínio em busca de padrões e regularidades é fundamental para conseguirmos escrever as sentenças matemáticas que definem uma sequência.

Observe, no exemplo 1 que vimos anteriormente, que as informações:

a₁ = 5 e a_n = a_n-1 + 4,com n∈N e n≥2

determinam todos os termos da sequência e a ordem em que se apresentam. Dizemos que esta sequência é determinada pela fórmula de recorrência, porque recorremos ao termo anterior para determinarmos o termo seguinte.

Considere esta outra sequência a_n = n² + 3 com n∈N. Para determinarmos os termos dessa sequência, basta atribuirmos a n os valores 1, 2, 3, ... na igualdade:

n=1 ⇒ a₁ =1² + 3 = 4

n=2 ⇒ a₂ =2² + 3 = 7

n=3 ⇒ a₃ =3² + 3 = 12

n=4 ⇒ a₄ =4² + 3 = 19

Portanto, a sequência é (4, 7, 9, 12, 19, ...).

Imagine, agora, que, no exemplo 2, você tivesse que descobrir o 100º termo daquela sequência. Seria impossível desenhar todas as figuras para determinarmos a quantidade de quadradinho que há na 100ª figura. Para isto, após analisarmos a sua regra de formação, e juntando à sequência figurada a sequência numérica, escrevemos a fórmula que determina qualquer termo daquela sequência. Vimos que:

Figura 1 ⇒ a₁ = 2.1 = 2

Figura 2 ⇒ a₂ = 3.2 = 6

Figura 3 ⇒ a₃ = 3.4 = 12

Figura 4 ⇒ a₄ = 4.5 = 20

Figura 5 ⇒ a₅ = 5.6 = 30

Figura 6 ⇒ a₆ = 6.7 = 42

Figura 7 ⇒ a₇ = 7.8 = 56

Observe que cada termo da sequência é obtido multiplicando a posição do termo pelo número sucessor da posição do termo. Então, podemos escrever:

a_n = n.(n+1) com n∈N

que é a fórmula do termo geral da sequência. Daí a₁₀₀ = 100.101 = 10100, ou seja, a 100ª figura tem 10100 quadradinhos.

Agora é sua vez! Faça as atividades propostas para reforçar, ampliar, aprofundar e fixar conceitos e procedimentos. Assim, você poderá descobrir se aprendeu o assunto ou se precisa de mais estudo. Quem tira as conclusões é você. Anote suas dúvidas, pesquise e tente respondê-las, fazendo perguntas para você mesmo. Se necessário, utilize um livro didático para suas pesquisas. Se suas dúvidas permanecerem, não se desespere, procure ajuda dos seus colegas e professora. Bons Estudos!!!!

Referências Bibliográficas

DEVLIN, K. Matemática – a ciência dos padrões. Porto: Porto editora, 2002.
DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 2010.
MOLINA, Christiane C. Plano de estudo de matemática (Avaliação Parcial – 1º Trimestre – 2011) – 6º ano Ensino Fundamental II. Disponível em: http://www.colegioparthenon.com.br/pais-filhos/calendarios_2011/ calendario_atividade_fundamental2/6ano/plano_estudo_matematica_avaliacao_parcial_professora_christiane.pdf. Acesso em 23 Mai 2011.