Quem
Sabe Somar Sabe Dividir
Somar
é a primeira operação matemática que se aprende, a que temos mais facilidade e
a que gostamos mais.
Primeiro
agente gosta de somar várias vezes palitos e giz, depois brinquedos e roupas da
moda, depois somar dinheiro, depois somar carros e casas, e sempre somar
alegria e felicidade. Isto já é multiplicação, que também é fácil de aprender,
é só somar várias vezes a mesma coisa.
A
Segunda operação que aprendemos é a subtração. Aí começa a ficar estranho.
Principalmente quando tem que “pedir emprestado” na casa do vizinho, digo casa
decimal ao lado. Ninguém gosta mais de diminuir do que somar.
Quando
chega na divisão é quase um desespero, ainda mais quando sobra um resto. É que
ninguém entende aonde ou pra quem vai ficar o resto. Até no cotidiano ninguém
gosta de dividir nada. A dificuldade no
aprendizado não parece à toa, o homem rejeita essa prática.
Quando
o homem aprender a dividir corretamente e souber onde deve ficar o resto,
entenderá que é o mesmo que somar para alguns, mantendo a quantidade de outros,
sem necessariamente subtrair de alguém, ou seja, é o mesmo que somar igual para
todos; entenderá também que somando os restos teremos mais um inteiro
divisível, fazendo outros felizes. O resultado final também é uma soma, a soma
da felicidade geral. Poderíamos até chamar esta operação de soma distribuída.
Com
esta visão, com certeza a matemática daria mais resultados, talvez fosse
dispensável aprender contas de dividir e os homens continuariam felizes a somar
palitos, brinquedos, dinheiros, carros, casas e felicidade, porém não somente
para si. Quem sabe?
Odylanor
Havlis
Operações
com Números Naturais
Conhecer os números não basta,
é preciso saber operar com eles, saber resolver uma situação problema. E para
isso é necessário saber quando essa ou aquela operação pode solucionar o
problema.
Mas o que são operações? São
ações que aplicamos sobre quantidades a fim de transformar uma quantidade inicial
em outra.
Vamos, então, refletir sobre as
transformações que cada operação provoca nas quantidades, para que
possamos identificar as ideias
matemáticas das operações.
Adição
A adição é a operação mais natural porque está presente
na vida das pessoas desde muito cedo. Envolve três tipos de situações: a de
juntar quantidades, a de acrescentar quantidades e a de restaurar quantidades.
Vejamos cada uma delas através de exemplos:
Vejamos cada uma delas através de exemplos:
Juntar: Em uma escola há 35 alunos matriculados na 6ª série A, 32 alunos matriculados na 6ª série B e 29, na 6ª série C. Quantos alunos de 6ª série estão matriculados nessa escola?
Na ideia de juntar da adição temos as
quantidades que se juntam para formar outra.
Para solucionar o problema deve-se juntar a
quantidade de alunos que estão em cada turma, ou seja, 35+32+29=96 alunos.
Portanto, nessa escola, estão matriculados 96 alunos de 6ª série.
Acrescentar: Numa
anfiteatro de uma escola estão 84 alunos para uma apresentação. A direção da
escola mandou que a 8ª série, com 39 alunos, também fosse assistir a
apresentação. Quantos alunos estarão no anfiteatro?
Na ideia de acrescentar temos uma
quantidade e uma segunda aparece para modificar a primeira.
Nesta situação pode perceber que 84 alunos já
estão no anfiteatro e a direção solicitou que acrescentasse mais 39 alunos da
8ª série, ou seja, 84+39=123. Logo, estarão 123 alunos no anfiteatro.
Restaurar: Na
escola de Priscila, 47 alunos foram transferidos para outra escola, ficando 870
alunos. Quantos alunos havia na escola de Priscila?
Na ideia de restaurar temos que recompor, refazer, restaurar uma
quantidade original.
Neste exemplo, podemos observar que havia uma
quantidade de alunos na escola de Priscila que não sabemos qual é. Sabemos que
foram transferidos 47 e que após as transferências ficaram 870 alunos. Sendo
assim, para descobrirmos a quantidade de alunos que havia na escola de Priscila
antes que as transferências ocorressem, ou seja, a quantidade original de
alunos, temos que adicionar a quantidade de alunos que ficaram com a quantidade
de alunos que foram transferidos, isto é, 870+47=917. Portanto, havia 917
alunos na escola de Priscila.
Subtração
A
subtração, embora presente desde muito cedo no dia-a-dia das pessoas não é uma
operação simples de se trabalhar, talvez por envolver ideias bastante
diferentes entre si: tirar, comparar e completar.
Tirar:
Maurício tinha 101 bolinhas de gude. Perdeu 58 num
jogo. Com quantas bolinhas, Maurício ficou?
Na ideia de tirar retira-se uma quantidade de outra,
resultando uma quantidade menor que a quantidade inicial.
Neste exemplo, Maurício tinha 101 bolinhas e perdeu
58. Note que deve-se retirar da quantidade inicial de bolinhas do Maurício a
quantidade que ele perdeu. Por isso, é preciso efetuar uma subtração: 101-58=43
bolinhas que é a quantidade que restou ao Maurício.
Comparar:
João e Pedro colecionam selos. João possui 272 selos
em sua coleção e Pedro tem 394. Quem tem mais selos? Quanto a mais?
Na
ideia de comparar têm-se duas quantidades e se quer compará-las para determinar
qual é maior, qual tem mais, ou ainda, determinar a diferença entre as
quantidades.
Para
responder a essa situação, observa-se que é preciso comparar a quantidade de
selos de João e Pedro para determinarmos quem tem mais. Com base nessa
observação percebemos que Pedro tem mais selos que João. Mas, se quer saber
quanto a mais. Sendo assim, faz-se 394-272=122 selos, quantidade a mais que
Pedro possui em comparação à quantidade de João.
Completar:
Samanta
quer comprar um sapato que custa 156 reais, mas só tem 98 reais. Quantos reais
faltam à Samanta para comprar o sapato?
Na
ideia de completar tem-se uma quantidade e necessita-se de outra para completar
a quantidade inicial.
Observe
que Samanta tem uma quantidade, 98 reais que é menor que o valor do sapato, 156
reais e se quer saber quanto falta para completar a quantidade necessária para
adquirir o sapato. Por isso, faz-se 156-98=58 reais.
Multiplicação
Na maioria das vezes, a multiplicação é vista apenas sob o
aspecto de juntar quantidades iguais.
É necessário, no entanto, entender que a multiplicação é também uma operação
que está relacionada a outros contextos: problemas de contagem
(raciocínio combinatório), formação retangular e proporcionalidade.
Juntar quantidades iguais: Maria foi à papelaria e comprou 6 lápis a R$ 1,90 cada um. Quanto, Maria, gastou na papelaria?
Na ideia de juntar quantidades iguais têm-se várias
quantidades iguais e necessita-se juntá-las para produzir o resultado.
Nessa situação tem-se:
1,90+1,90+1,90+1,90+1,90+1,90=6x1,90=11,40 que é o valor total do gasto de
Maria na papelaria.
Formação
Retangular: Na parede de um
banheiro foram colocados 15 fileiras com 9 azulejos em cada fileira. Quantos
azulejos foram gastos nessa parede?
Em situações de formação retangular, têm-se objetos
dispostos em linhas e colunas formando um retângulo.
Para responder essa situação deve-se observar que há
15 fileiras e em cada fileira há 9 azulejos. Observe o desenho e note que há
15x9=135 azulejos.
Raciocínio
Combinatório: Uma gincana esportiva está sendo realizada em
duas fases. Cada participante deverá se inscrever em uma só modalidade
esportiva para cada fase, obedecendo a tabela. Juca gosta de todos os esportes
oferecidos. Quantos tipos de escolha diferentes ele poderá fazer, para decidir
em quais modalidades se inscreverá na gincana?
Em
problemas de contagem têm-se duas ou mais quantidades para serem combinadas
para formar uma nova quantidade. Nesse caso é o raciocínio combinatório que
permite organizar as quantidades de todos os modos possíveis para obter os
resultados.
Observe
que na 1ª fase há três modalidades de esporte e na 2ª fase, duas. Para resolver
esta situação pode-se:
a)
Escrever
todas as possibilidades: natação e salto; natação e arremesso; corrida e salto;
corrida e arremesso; ciclismo e salto; ciclismo e arremesso.
b)
Fazer
uma tabela de dupla entrada:
c)
Diagrama
de árvore
Quando
se trata de quantidades pequenas, como é o caso do exemplo, é possível resolver
a situação sem nenhum cálculo. Porém, se as quantidades forem maiores as
soluções apresentadas ficam bastante complicadas. Neste caso, devem-se
multiplicar as quantidades para obter quantas combinações são possíveis: 3x2=6.
Portanto, há 6 escolhas diferentes para Juca participar da gincana.
Proporcionalidade:
Três
caixas contêm 15 bombons. Quantos bombons haverá em 2 caixas? E em 4 caixas? E
em 8 caixas? E em 10 caixas?
Observe
a tabela abaixo:
Caixas
|
Bombons
|
3
|
15
|
6
|
30
|
2
|
10
|
4
|
20
|
8
|
40
|
10
|
50
|
Sabe-se
que 3 caixas possuem 15 bombons. Daí pode-se determinar a quantidade de bombons
em 6 caixas, pois se 6 é o dobro de 3, então a quantidade de bombons deverá ser
também o dobro. Logo, 15x2=30 bombons. Ou seja, em 6 caixas há 30 bombons.
Por
outro lado, tem-se que 2 é a terça parte de 6, então em 2 caixas tem-se a terça
parte da quantidade que há em 6 caixas, ou seja, 30:3=10 bombons. Logo, em 2
caixas tem-se 10 bombons.
Repetindo
o raciocínio, pode-se determinar a quantidade de bombons em 4 caixas, que é o
dobro da quantia que há em 2 caixas, isto é, 10x2=20 bombons. Em 8 caixas,
tem-se o quádruplo do que há em 2 caixas, ou seja, 10x4=40 bombons e em 10
caixas, tem-se o quíntuplo do há em 2 caixas, ou seja, 10x5=50 bombons.
Divisão
A divisão está ligada a duas diferentes ideias: repartir
igualmente e medir, sendo a primeira, a ideia que a maioria das pessoas tem
da divisão.
Repartir igualmente: Para realizar um trabalho, o professor de matemática deverá formar 6 grupos de alunos numa turma com 42 alunos. Quantos alunos terão em cada grupo?
Em
situações de repartir igualmente, tem-se uma quantidade que deve ser
distribuída por outra. Neste caso, a natureza do resultado é igual a da
quantidade que foi dividida.
No
exemplo tem-se 42 alunos para distribuir pelos 6 grupos, ou seja, tem-se que
formar grupos com 42:6=7 alunos. Ou seja, em cada grupo deverá ter 7 alunos.
Observe que foi dividido aluno e o resultado também é aluno. A natureza do
dividendo e do resultado é a mesma.
Medida
(quantas vezes cabem): Para realizar
um trabalho, o professor de matemática deverá formar grupos com 5 alunos. Se na
turma há 35 alunos, quantos grupos poderão ser formados?
Em
situações de medida, a ação será descobrir quantas vezes uma quantidade cabe
dentro de outra quantidade. A natureza do resultado é diferente da quantidade que foi dividida.
No
exemplo, deve-se encontrar a quantidade de grupos que é possível formar com 35
alunos. Ou seja, 35:5=7 grupos. Isto é, pode-se formar 7 grupos com 5 alunos em
cada. Observe que foi dividido aluno e o resultado é a quantidade de grupos. As
naturezas do dividendo e do resultado são diferentes, no entanto, as naturezas
do dividendo e do divisor são iguais.
Referências Bibliográficas
SOUSA, U. R. D. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS: IDÉIAS QUE OS ENVOLVE E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS.
Disponivel em:
http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/PO75217619449T.doc.
Acesso em: 13 Mar 2012.
