Cônicas: Significados, Equações e Aplicações
Depois de desenvolver todas as atividades propostas na aba processos, forme grupos de 3 ou 4 membros, para realizar a seguinte tarefa:
Grupo 1: O segredo do salão oval
“O grande salão oval estava cheio ate
transbordar de espiões, contraespiões e contra-contraespiões. Contudo, o
primeiro-ministro tinha absoluta necessidade de comunicar imediatamente a Sua
Majestade o grande segredo de que acabara de se inteirar. Como quem não quer
nada, ao aproximar-se do Rei, disse-lhe em alto e bom som: “Majestade, parece
que os focos de rebeldes reclamam a nossa atenção”. Todos os espiões se
dirigiram as paredes do salão para retirar dos forros das suas capas as chaves
das mensagens cifradas. Seguiram-nos, naturalmente com grande sigilo, os contraespiões
e, a estes, os contra-contraespiões. O rei, com passo tranquilo, mas decidido, dirigiu-se
a um lado do salão oval. O ministro, por sua vez, com o mesmo passo decidido,
mas também tranquilo, dirigiu-se na direção contraria, ao outro lado do salão
oval. Os espiões observaram-nos de soslaio enquanto consultavam nos seus livros
de códigos as palavras-chaves “parece”, “focos”, “rebeldes” e “exigem”. Os contraespiões
estavam atentos aos espiões e os contra-contraespiões não perdiam de vista nem
por um momento os seus contraespiões correspondentes. O rei parou por um
momento e o ministro, respeitoso, parou também. Estavam a mais de 20 metros de
distancia quando um espião mais astuto observou e anotou no seu livro secreto: “Este
ministro ou fala sozinho ou esta rezando”. Mas ninguém pode ouvir nada do que o
Ministro balbuciava. Só o Rei pode ouvir claramente a mensagem do Ministro: “Majestade,
com todo o meu respeito, a sua braguilha esta totalmente aberta”.
• Você
e capaz de explicar como a comunicação entre o Ministro e o Rei foi possível ou
em que consiste, fundamentalmente, o mistério do salão oval?”(ROCHA, 2012 p.40) .
Vocês
deverão explicar como a comunicação entre as duas pessoas é possível; isto é,
em que consiste o segredo do salão oval fazendo a ligação com o estudo das
cônicas. Para isso vocês deverão construir uma apresentação em slides para
demonstração em sala de aula.
Grupo 2: A Luminária do dentista
Você sabia que os refletores odontológicos utilizam as elipses e sua propriedade de concentrar os raios luminosos em um ponto, que é ajustado pelo dentista para iluminar o dente que está sendo tratado? A vantagem dessa utilização é concentrar o máximo de luz onde se está trabalhando sem que os raios luminosos ofusquem o paciente, o que aumentaria o desconforto causado pelo tratamento dentário.
Vocês deverão explicar como são construídos os refletores odontológicos fazendo a ligação com o estudo das cônicas. Para isso vocês deverão construir uma apresentação em slides para demonstração em sala de aula.
Vocês deverão explicar como são construídos os refletores odontológicos fazendo a ligação com o estudo das cônicas. Para isso vocês deverão construir uma apresentação em slides para demonstração em sala de aula.
Grupo 3: Litotripsia
Você sabe o que é Litotripsia? É um procedimento médico para quebrar pedras (cálculos) dos rins, através de onda de choques, para que os fragmentos sejam mais facilmente retirados.
Você sabe o que é Litotripsia? É um procedimento médico para quebrar pedras (cálculos) dos rins, através de onda de choques, para que os fragmentos sejam mais facilmente retirados.
Esse tratamento só é possível graças à propriedade refletora da elipse.
Vocês deverão pesquisar sobre o funcionamento desse tratamento, como é realizado esse procedimento e construir uma apresentação em slides para demonstração em sala de aula.
Deverá, ainda, responder a seguinte questão:
"A secção transversal do aparelho de litotripsia é uma elipse. Suponha que essa elipse tenha 3 metros de comprimento em seu maior eixo e 1 metro em seu menor eixo. Qual deverá ser a posição do rim do paciente e a fonte emissora das ondas de choques que garante a eficácia do tratamento?"(ROCHA, 2012 p. 41)
Grupo 4: A trajetória dos planetas e cometas em torno do sol
As cônicas, em especial, a elipse tem um papel importante no desenvolvimento da astronomia. Johannes Kepler, astrônomo alemão, descobriu a forma elíptica das órbitas dos planetas e formulou as famosas três leis do movimento planetário. Kepler calculou a órbita da Terra observando a órbita do planeta Marte. Pelo fato de Marte ser o primeiro planeta ele se move mais rapidamente em sua órbita, retornando logo á sua posição inicial, o que facilita o seu estudo. Ao estudar a órbita de Marte, Kepler verificou que esta não podia ser circular, pois se parecia com uma oval. Vários cálculos foram feitos e ele verificou que a órbita de Marte era uma elipse de excentricidade 0,093 com o Sol em um dos focos. Kepler estendeu a todos os planetas do sistema solar a lei da órbita elíptica, a qual ficou conhecida como sua primeira lei e que se enuncia: “Cada planeta descreve uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos”.
Vocês deverão pesquisar sobre as órbitas dos corpos celestes e construir uma apresentação em slides para demonstração em sala de aula.
Deverá, ainda, responder a seguinte questão:
a) Satélites e artefatos espaciais viajam ao redor da terra em órbitas elípticas, com a Terra em um de seus focos. Para tais órbitas é bastante difícil determinar o comprimento do semieixo maior e a distância focal. É mais fácil medir as distâncias máximas (M) e mínimas (n) do objeto espacial á Terra. Ache uma fórmula que expressa a excentricidade desta órbita como função das constantes M e n.
b) A fórmula encontrada no item a pode ser usada para calcular a excentricidade das órbitas planetárias sendo M e n, respectivamente, as distâncias máximas e mínimas do planeta ao sol, que se localiza num dos focos da órbita elíptica. Para o planeta Netuno, M=30,33 e n=29,79 onde as distâncias são medidas em unidades astronômicas. (Uma unidade astronômica é a distância media da Terra ao sol: cerca de 149,6 milhões de quilômetros). Calcule a excentricidade da órbita de Netuno.
c) Ache os valores do semieixo maior e a semidistância focal para a órbita de Netuno.
d) Ache a equação da órbita de Netuno num sistema de coordenadas no qual o sol esteja localizado na origem e o eixo maior da órbita sobre o eixo x.
e) Repita os itens B, C e D para a órbita de Plutão onde M=49,3 e n=29,6.
Adaptado de: (ROCHA, 2012 p.42)
Grupo 5: Por que as antenas são parabólicas?
É comum observarmos no alto de residências e edifícios as Antenas Parabólicas, que são usadas para captar ondas eletromagnéticas emitidas por satélites em órbita ao redor da terra e convertê-las em um sinal de TV. Isto somente é possível devido à propriedade refletora da parábola que consiste em refletir os raios captados pela antena para o foco da parábola onde se encontra posicionada um receptor de ondas que envia o sinal para um conversor que decodifica as ondas e as envia para o receptor da televisão, permitindo que você assista a filmes, jornais e outros programas.
Vocês deverão pesquisar sobre as antenas parabólicas e construir uma apresentação em slides para demonstração em sala de aula explicando por que as antenas são parabólicas à luz do estudo das cônicas.
Grupo 6: Farol dos carros, lanternas, telescópios e espelhos parabólicos
Os refletores parabólicos de faróis e lanternas permitem que a luz da lâmpada localizada no foco se propague em raios paralelos ao eixo da parábola formando o facho. As lentes parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis dos veículos permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para um ponto específico, o foco da parábola, que normalmente é apontado para o solo, evitando desta forma que a luz de um carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção oposta.
Vocês deverão pesquisar sobre o farol dos carros, lanternas, telescópios e espelhos parabólicos. Construir uma apresentação em em slides para demonstração em sala de aula, explicando por que os faróis dos carros e os espelhos de alguns telescópios são parabólicos à luz do estudo das cônicas.
Grupo 7: Trajetória de projéteis
Quando lançamos um objeto (míssil, pedra, flecha, etc.), este descreve uma curva parabólica. O foguete quando ele é lançado ele faz uma curva em forma de uma parábola.
Vocês deverão pesquisar sobre a trajetória de projéteis e construir uma apresentação em slides para demonstração em sala de aula, explicando por que quando um objeto é lançado sua trajetória é um arco de parábola à luz do estudo das cônicas.
Grupo 8: Sistemas Hiperbólicos de Navegação
A navegação hiperbólica utiliza o método de medida da diferença de distâncias a determinados pontos para obtenção das linhas de posição (LDP) que definem a posição do navio.
Vocês deverão pesquisar sobre os sistemas eletrônicos de posicionamento que utilizam o método hiperbólico para a determinação das LDP e construir uma apresentação em slides para demonstração em sala de aula, explicando o funcionamento desses sistemas de navegação à luz do estudo das cônicas.
Deverá responder ainda a seguinte questão:
“Suponha que um transmissor localizado em um aeroporto transmita um sinal eletromagnético para uma aeronave. Este sinal se propaga com a velocidade da luz, cerca de 300 metros a cada microssegundo (1 microssegundo = 1/1000000 de segundo). A aeronave recebe, também, outro sinal transmitido de uma torre localizada a 50 km do aeroporto. O avião ajusta o seu curso de maneira a sempre receber o sinal transmitido do aeroporto 100 microssegundos antes do recebimento do sinal transmitido pela torre. Isto significa que o avião esta sempre 30 km (300 metros x 100 microssegundos = 30000 metros ou 30 km) mais perto do aeroporto do que da torre. Descubra que tipo de curva e determinada pela rota do avião” (ROCHA, 2012, p.54). Justifique sua resposta a luz da sua pesquisa.
Grupo 9: Hipérbole e Telescópios
Galileu Galilei (1564-1642) foi o primeiro cientista a construir um telescópio para observação astronômica. Os primeiros telescópios, inclusive o de Galileu, foram construídos com lentes e funcionavam com base na refração da luz. Acontece que as lentes têm vários inconvenientes, como as deformações das imagens que elas produzem ou a decomposição da luz branca em várias cores, produzindo as aberrações cromáticas. Isaac Newton (1642-1727) resolveu esse problema em seu telescópio refletor, colocando um espelho plano entre o espelho parabólico e o foco da parábola. Em 1672 o astrônomo francês Cassegrain propôs a utilização de um espelho hiperbólico em lugar do espelho plano de Newton. Um dos focos da hipérbole coincide com o foco da parábola e os raios que iria forma a imagem no foco da parábola são refletidos pelo espelho hiperbólico e forma as imagens no outro foco da hipérbole.
Vocês deverão pesquisar sobre o funcionamento dos telescópios que usam os espelhos hiperbólicos e construir uma apresentação em slides para demonstração em sala de aula explicando o funcionamento desses telescópios à luz do estudo das cônicas.
